#2246. [SDOI2011]迷宫探险

题目描述

这是一个单人游戏。

游戏开始时，玩家控制的人物出生在迷宫的某个位置，玩家的目标是控制人物走到迷宫的某个出口（出口可能有多个）。迷宫里有k类陷阱（用"A"、"B"、"C"……表示，相同字母代表相同类型的陷阱），每类陷阱可能是有害的或无害的，而在游戏开始时玩家并不知道哪些陷阱是有害的，哪些是无害的。同一类陷阱的状态相同，即用同一个字母标志的陷阱要么全部有害，要么全部无害，不会发生一部分有害而另一部分无害的情况。任何陷阱状态的组合都有一个发生概率，考虑下例：

当k=2时，迷宫内共有两类陷阱，分别用"A"和"B"表示，陷阱状态的组合共有4种：

1、"A"是无害陷阱，"B"是无害陷阱。

2、"A"是有害陷阱，"B"是无害陷阱；

3、"A"是无害陷阱，"B"是有害陷阱；

4、"A"是有害陷阱，"B"是有害陷阱；

下面给出了一个合法的概率表格：

|

"A"是无害陷阱

|

"A"是有害陷阱

---|---|---

"B"是无害陷阱

|

36%

|

24%

"B"是有害陷阱

|

24%

|

16%

当K=3时，会有8种不同的陷阱状态组合，如果我们依然坚持使用概率表格，那么这个表格将会是三维的（222，每一维对应着一类陷阱）。当K≥3时，这将使得题目难以描述。因此我们使用一个大小为2k的数组p来描述每种情况发生的可能性，p的下标范围为0~2k-1。

p是这样生成的：

对于每个可能的陷阱状态组合，考虑所有k类陷阱，令1表示某个陷阱有害，0表示某个陷阱无害，把"A"作为二进制数的第0位（从右边开始计数），"B"作为第1位，"C"作为第2位……通过以上操作，我们可以得到一个 K 位的二进制数，把它转化成十进制后，2k种陷阱状态的组合将会与整数0~2k-1一一对应。

定义S表示P中所有元素和，即：

则陷阱状态组合i出现的概率为Pi / S。上述表格对应的一个合法数组P是：

P0 =36

P1 =24

P2 =24

P3=16

当然同一个概率表格可能会对应多个数组P（事实上有无数个数组P能够迎合表格数据），例如上述表格同时也对应着下面的数组P：

P0=72

P1=48

P2=48

P3=32

玩家控制的人物初始情况下有H点生命，当人物踏上某个陷阱时，如果这个陷阱是有害的，那么会损失1点生命，否则这个陷阱是无害的，不损失生命。无论上述哪种情况发生，玩家会立刻得到这个陷阱的信息（有害或无害）。一旦生命小于等于0，玩家控制的人物会立刻死亡。

迷宫可以看作m*n的方格地图，每个元素可能是：

"."：表示这是平地，可以通过；

"#"：表示这是墙，不能通过；

"A"，"B"，"C"……：表示这是一个陷阱；

"$"：表示这是起点，地图中有且仅有一个；

"@"：表示这是终点，地图中可以有多个，也可以一个也没有。

人物可以向上下左右四个方向行走，不可以走对角线，也不可以走出地图。

给定m*n的地图、k、h以及大小为2k的概率数组。你的任务是求出在执行最优策略时，人物能活着走出迷宫的概率。

输入格式

第一行包含4个整数，分别表示m、n、K、H；

下面m行每行n个字符描述迷宫地图；

最后一行包含2K个非负整数描述数组P，数组下标从0开始。

输出格式

仅包含一个数字，表示在执行最优策略时，人物活着走出迷宫的概率。四舍五入保留3位小数。

样例

样例输入

仅包含一个数字，表示在执行最优策略时，人物活着走出迷宫的概率。四舍五入保留3位小数。  

【样例输入1】  

4 3 2 1  

.$.  

A#B  

A#B  

.@.  

30 30 20 20  

【样例输出1】  

0.600  

【样例说明1】  

向右边走，经过“B”，“B”为有害陷阱的概率为 (20+20)/(30+30+20+20=)=0.4，若“B”为有害陷阱那么人物就死掉了，游戏失败，否则玩家得知“B”是无害陷阱，继续经过另一个“B”达到终点，胜利的概率为0.6。  

【样例输入2】  

4 3 2 2  

.$.  

A#B  

A#B  

.@.  

30 30 20 20  

【样例输出2】  

0.800  

【样例说明2】  

向左边走，经过“A”，“A”为有害陷阱的概率为 (30+30)/(30+30+20+20)=0.5。若“A”为有害陷阱，那么损失一点生命，转到右边尝试“B”，要想成功到达终点，此时“B”必须为无害陷阱，而在“A”是有害陷阱的前提下，“B”是无害陷阱的概率是30/(30+20)=0.6，故这种情况发生的概率为0.5*0.6=0.3。若“A”是无害陷阱，玩家可以控制人物连续通过两个“A”到达终点，这种情况发生的概率0.5。所以答案为0.3+0.5=0.8。   

【样例输入3】  

4 3 2 3  

.$.  

A#B  

A#B  

.@.  

30 30 20 20  

【样例输出3】  

1.000  

【样例说明3】  

玩家控制的人物有3点生命，但最多只需要经过两个陷阱，所以任意选左路或右路走过去就可以到达终点了。  

【样例输入4】  

4 3 3 2  

.$.  

A#B  

A#C  

@@@  

143 37 335 85 95 25 223 57  

【样例输出4】  

0.858

样例输出

数据范围与提示

m<=30,N<=29,K<=5,H<=5,0<=pi<=10^5 ，且至少有一个pi>0